Funzioni di crescita esponenziale

Le funzioni esponenziali raccontano storie di cambiamenti esplosivi. I due tipi di funzioni esponenziali sono la crescita esponenziale e il decadimento esponenziale. Quattro variabili (variazione percentuale, tempo, importo all’inizio del periodo di tempo e importo alla fine del periodo di tempo) svolgono un ruolo nelle funzioni esponenziali. Quanto segue si concentra sull’uso delle funzioni di crescita esponenziale per fare previsioni.

Crescita esponenziale

La crescita esponenziale è il cambiamento che si verifica quando un importo originale viene aumentato di un tasso costante per un periodo di tempo

Usi della crescita esponenziale nella vita reale:

  • Valori dei prezzi delle case
  • Valori degli investimenti
  • Maggiore partecipazione a un popolare sito di social networking

Crescita esponenziale nel commercio al dettaglio

Edloe and Co. si affida alla pubblicità del passaparola, l’originale social network. Cinquanta acquirenti l’hanno detto a cinque persone ciascuno, poi ognuno di quei nuovi acquirenti l’ha detto ad altre cinque persone e così via. Il gestore ha registrato la crescita degli acquirenti in negozio.

  • Settimana 0:50 acquirenti
  • Settimana 1:250 acquirenti
  • Settimana 2:1,250 acquirenti
  • Settimana 3:6,250 acquirenti
  • Settimana 4:31,250 acquirenti

Innanzitutto, come fai a sapere che questi dati rappresentano una crescita esponenziale? Ponetevi due domande.

  1. I valori stanno aumentando? sì
  2. I valori dimostrano un aumento percentuale costante? Sì.

Come calcolare l’aumento percentuale

Aumento percentuale: (Più recente – Più vecchio) / (Più vecchio) = (250-50) / 50 = 200/50 = 4.00 = 400%

Verifica che l’aumento percentuale persista per tutto il mese:

Aumento percentuale: (Più recente – Più vecchio) / (Più vecchio) = (1,250 – 250) / 250 = 4.00 = 400%
Aumento percentuale: (Più recente – Più vecchio) / (Più vecchio) = (6,250 – 1,250) / 1,250 = 4.00 = 400%

Attenzione: non confondere crescita esponenziale e lineare.

Quanto segue rappresenta una crescita lineare:

  • Settimana 1:50 acquirenti
  • Settimana 2:100 acquirenti
  • Settimana 3:150 acquirenti
  • Settimana 4:200 acquirenti

Nota: crescita lineare significa un numero consistente di clienti aggiunti (50 acquirenti a settimana); crescita esponenziale significa un aumento percentuale costante (400%) dei clienti.

Come scrivere una funzione di crescita esponenziale

Ecco una funzione di crescita esponenziale:

y = a (1 + b) x

  • y: importo finale rimanente per un periodo di tempo
  • a: L’importo originale
  • x: tempo
  • Il progetto fattore di crescita è (1 + b).
  • La variabile, b, è la variazione percentuale in forma decimale.

Riempi gli spazi vuoti:

  • a = 50 acquirenti
  • b = 4.00

y = 50 (1 + 4) x

Nota: non inserire valori per x e y. I valori di x e y cambieranno durante la funzione, ma l’importo originale e la variazione percentuale rimarranno costanti.

Usa la funzione di crescita esponenziale per fare previsioni

Supponiamo che la recessione, il motore principale degli acquirenti del negozio, persista per 24 settimane. Quanti acquirenti settimanali avrà il negozio durante l’ottava settimana?

Attenzione, non raddoppiare il numero di acquirenti nella quarta settimana (4 * 31,250 = 2) e credo che sia la risposta corretta. Ricorda, questo articolo parla della crescita esponenziale, non della crescita lineare.

Usa l’ordine delle operazioni per semplificare.

y = 50 (1 + 4) x

y = 50 (1 + 4) 8

y = 50 (5) 8 (parentesi)

y = 50 (390,625) (Esponente)

y = 19,531,250 (Moltiplica)

19,531,250 acquirenti

Crescita esponenziale dei ricavi al dettaglio

Prima dell’inizio della recessione, le entrate mensili del negozio si aggiravano intorno agli 800,000 dollari. Le entrate di un negozio sono l’importo totale in dollari che i clienti spendono nel negozio in beni e servizi.

Edloe and Co. Ricavi

  • Prima della recessione: $ 800,000
  • 1 mese dopo la recessione: $ 880,000
  • 2 mesi dopo la recessione: $ 968,000
  • 3 mesi dopo la recessione: $ 1,171,280
  • 4 mesi dopo la recessione: $ 1,288,408

esercizi

Usa le informazioni sui ricavi di Edloe and Co per completare da 1 a 7.

  1. Quali sono i ricavi originari?
  2. Qual è il fattore di crescita?
  3. Come funziona la crescita esponenziale di questo modello di dati?
  4. Scrivi una funzione esponenziale che descriva questi dati.
  5. Scrivi una funzione per prevedere i ricavi nel quinto mese dopo l’inizio della recessione.
  6. Quali sono i ricavi nel quinto mese dopo l’inizio della recessione?
  7. Supponiamo che il dominio di questa funzione esponenziale sia di 16 mesi. In altre parole, supponiamo che la recessione durerà 16 mesi. A che punto i ricavi supereranno i 3 milioni di dollari?