Come calcolare il valore atteso

Sei a un carnevale e vedi una partita. Per $ 2 tiri un dado standard a sei facce. Se il numero mostrato è un sei vinci $ 10, altrimenti non vinci nulla. Se stai cercando di fare soldi, è nel tuo interesse giocare? Per rispondere a una domanda come questa abbiamo bisogno del concetto di valore atteso.

Il valore atteso può davvero essere pensato come la media di una variabile casuale. Ciò significa che se si esegue ripetutamente un esperimento di probabilità, tenendo traccia dei risultati, il valore atteso è la media di tutti i valori ottenuti. Il valore atteso è ciò che dovresti aspettarti che accada nel lungo periodo di molte prove di un gioco d’azzardo.

Come calcolare il valore atteso

Il gioco del carnevale di cui sopra è un esempio di una variabile casuale discreta. La variabile non è continua e ogni risultato ci arriva in un numero separabile dagli altri. Per trovare il valore atteso di un gioco che ha risultati x1, x2,. . ., xn con probabilità p1, p2,. . . , pn, calcola:

x1p1 + x2p2 +. . . + xnpn.

Per il gioco sopra, hai una probabilità 5/6 di non vincere nulla. Il valore di questo risultato è -2 poiché hai speso $ 2 per giocare. Un sei ha una probabilità di 1/6 di apparire e questo valore ha un risultato di 8. Perché 8 e non 10? Ancora una volta dobbiamo tenere conto dei $ 2 che abbiamo pagato per giocare e 10-2 = 8.

Ora inserisci questi valori e probabilità nella formula del valore atteso e finisci con: -2 (5/6) + 8 (1/6) = -1/3. Ciò significa che nel lungo periodo dovresti aspettarti di perdere in media circa 33 centesimi ogni volta che giochi a questo gioco. Sì, a volte vincerai. Ma perderai più spesso.

Il gioco del carnevale rivisitato

Supponiamo ora che il gioco del carnevale sia stato leggermente modificato. Per la stessa quota di iscrizione di $ 2, se il numero mostrato è un sei, vinci $ 12, altrimenti non vinci nulla. Il valore atteso di questo gioco è -2 (5/6) + 10 (1/6) = 0. A lungo termine, non perderai soldi, ma non ne vincerai nessuno. Non aspettarti di vedere una partita con questi numeri al tuo carnevale locale. Se a lungo andare non perderai soldi, allora il carnevale non ne guadagnerà.

Valore atteso al casinò

Ora vai al casinò. Allo stesso modo di prima possiamo calcolare il valore atteso dei giochi d’azzardo come la roulette. Negli Stati Uniti una ruota della roulette ha 38 slot numerati da 1 a 36, ​​0 e 00. Metà degli 1-36 sono rossi, metà sono neri. Sia 0 che 00 sono verdi. Una pallina si ferma casualmente in uno degli slot e le scommesse vengono piazzate su dove la pallina si fermerà.

Una delle scommesse più semplici è scommettere sul rosso. Qui se scommetti $ 1 e la pallina si ferma su un numero rosso nella ruota, vincerai $ 2. Se la pallina si ferma su uno spazio nero o verde nella ruota, non vinci nulla. Qual è il valore atteso su una scommessa come questa? Poiché ci sono 18 spazi rossi, c’è una probabilità di vincita 18/38, con un guadagno netto di $ 1. C’è una probabilità di 20/38 di perdere la tua scommessa iniziale di $ 1. Il valore atteso di questa scommessa alla roulette è 1 (18/38) + (-1) (20/38) = -2/38, che è di circa 5.3 centesimi. Qui la casa ha un leggero vantaggio (come con tutti i giochi da casinò).

Valore atteso e lotteria

Come altro esempio, considera una lotteria. Sebbene si possano vincere milioni al prezzo di un biglietto da $ 1, il valore atteso di un gioco della lotteria mostra quanto sia costruito ingiustamente. Supponi di scegliere sei numeri da 1 a 1 per $ 48. La probabilità di scegliere correttamente tutti e sei i numeri è 1 / 12,271,512. Se vinci $ 1 milione per aver ottenuto tutti e sei i risultati corretti, qual è il valore atteso di questa lotteria? I valori possibili sono – $ 1 per perdere e $ 999,999 per vincere (ancora una volta dobbiamo tenere conto del costo per giocare e sottrarre questo dalle vincite). Questo ci dà un valore atteso di:

(-1) (12,271,511 / 12,271,512) + (999,999) (1 / 12,271,512) = -918

Quindi, se dovessi giocare alla lotteria più e più volte, a lungo termine, perdi circa 92 centesimi – quasi tutto il prezzo del tuo biglietto – ogni volta che giochi.

Variabili casuali continue

Tutti gli esempi precedenti esaminano una variabile casuale discreta. Tuttavia, è possibile definire anche il valore atteso per una variabile casuale continua. Tutto ciò che dobbiamo fare in questo caso è sostituire la somma nella nostra formula con un integrale.

Nel lungo periodo

È importante ricordare che il valore atteso è la media dopo molte prove di un processo casuale. A breve termine, la media di una variabile casuale può variare in modo significativo dal valore atteso.